高三數(shù)學(xué)平面向量考點(diǎn)解析

　　1、 高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)平面向量的概念：平面向量是既有大小又有方向的量。向量和數(shù)量是數(shù)學(xué)中討論的兩種量的形式，數(shù)量是實(shí)數(shù)。

　　2、  平面向量的三種形式：

　�。�1）字母形式：用單獨(dú)的小寫字母帶箭頭或者用兩個(gè)大寫字母帶箭頭表示向量；

　�。�2）幾何形式；用平面內(nèi)的有向線段表示向量，零向量是一個(gè)點(diǎn)；

　　（3）坐標(biāo)形式：向量可以在坐標(biāo)平面內(nèi)用坐標(biāo)表示，向量坐標(biāo)等于它的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)。

　　3、平面向量的相關(guān)概念，

　�。�1）模（絕對(duì)值）：向量的大小或者向量的長(zhǎng)度叫做向量的模，模是大于等于的實(shí)數(shù)。模也叫作絕對(duì)值、大小、長(zhǎng)度，這幾個(gè)說法是一個(gè)意思。

　�。�2）相等向量：方向相同、大小相等的向量叫做相等向量（或者叫相同向量），兩個(gè)相等向量的x，y坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等。

　�。�3）相反向量：方向相反、大小相等的向量叫做相反向量。一個(gè)向量加負(fù)號(hào)即變?yōu)槠湎喾聪蛄�，在向量化�?jiǎn)和運(yùn)算中很常見、很重要。

　�。�4）平行（共線）向量：平面內(nèi)兩個(gè)向量所在的直線平行或者重合，則說這兩個(gè)向量平行（或者共線），用平行符號(hào)表示。因?yàn)橄蛄靠梢宰杂善揭�，所以�?duì)向量來講平行和共線是一個(gè)意思。兩個(gè)非零向量平行時(shí)，必定方向相同或相反。規(guī)定零向量和任意向量都平行，但不能說零向量和其它向量方向相同或相反。

　�。�5）垂直向量：兩向量所在的直線垂直（或者說夾角為90度），則說這兩個(gè)向量為垂直向量，用垂直符號(hào)表示。規(guī)定零向量和任意向量都垂直，但不能說夾角90度。

　�。�6）零向量：大小為零（或者說模、絕對(duì)值、長(zhǎng)度為零都是一個(gè)意思）的向量叫做零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的，不能討論零向量和其它向量方向的關(guān)系及夾角問題。規(guī)定零向量和任意向量都平行且垂直。

　�。�7）單位向量：長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量。一個(gè)向量除以自己的模得到和這個(gè)向量同方向的單位向量；單位向量乘以一個(gè)向量的模得到這個(gè)向量。

　　（8）位置向量：向量AB可以表示點(diǎn)B相對(duì)點(diǎn)A的位置，所以向量AB可以叫做點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的位置向量。

　�。�9）方向向量：一個(gè)非零向量與一條直線平行，則這個(gè)向量叫做這條直線的平行向量。一條直線的方向向量有無數(shù)多個(gè)。方向向量能體現(xiàn)直線的方向，作用和直線的斜率相同，方向向量的坐標(biāo)和斜率可以相互轉(zhuǎn)化。記住如下結(jié)論：若已知直線的斜率為K，則（1，K）為直線的一個(gè)方向向量；若（m，n）是直線的一個(gè)方向向量，則直線的斜率為n/m。

　�。�10）平移向量：平面內(nèi)的點(diǎn)或者圖像按照某一個(gè)向量平移的意思是：按照向量的方向，平移向量的長(zhǎng)度。具體在平移的時(shí)候，是分解為水平方向和豎直方向兩步平移的。平移向量坐標(biāo)為正就移向軸的正方向，坐標(biāo)為負(fù)就移向軸的負(fù)方向。點(diǎn)平移后的坐標(biāo)是原坐標(biāo)的x，y加上平移向量的坐標(biāo)；圖像平移后的方程是原方程中的x，y減去平移向量的坐標(biāo)。

　　4、平面向量的線性運(yùn)算

　�。�1）向量的加法滿足三角形，平行四邊形和多邊形法則。用加法的三角形法則和多邊形法則時(shí)要保證向量之間首尾相接，然后從第一個(gè)向量的始點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)得到的向量就是和向量。多邊形法則是三角形法則的拓展，關(guān)鍵都是向量要首尾相接。坐標(biāo)形式相加是橫縱坐標(biāo)分別相加。

　　（2）向量的減法滿足三角形法則。用減法的三角形法則時(shí)要保證兩個(gè)向量始點(diǎn)重合，從減數(shù)向量的終點(diǎn)指向被減數(shù)向量的終點(diǎn)得到的向量就是差向量。在兩向量共線時(shí)，加減法的三角形法則都成立。坐標(biāo)形式相減是橫縱坐標(biāo)分別相減。

　�。�3）向量的數(shù)乘運(yùn)算是實(shí)數(shù)和向量相乘，乘法符號(hào)是點(diǎn)。數(shù)乘運(yùn)算的效果是向量長(zhǎng)度的伸縮和方向的改變，要分實(shí)數(shù)大于0、小于0、等于0三種情況討論。乘完之后的向量和原向量一定共線。坐標(biāo)形式的數(shù)乘是實(shí)數(shù)與橫縱坐標(biāo)都相乘。

　　5、平面向量的兩個(gè)重要定理：

　　（1）共線向量定理：向量b不是零向量時(shí)，“向量a等于一個(gè)實(shí)數(shù)乘以向量b”等價(jià)于“向量a與向量b共線，且實(shí)數(shù)系數(shù)唯一”。注意：向量b若可能是零向量時(shí)，等價(jià)關(guān)系不成立，但是若已知兩向量滿足數(shù)乘關(guān)系可以推出兩向量平行。當(dāng)兩個(gè)向量是用基向量表示時(shí)，兩向量平行則基向量的系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例；當(dāng)兩個(gè)向量是坐標(biāo)形式時(shí)，這個(gè)定理對(duì)任意向量（包括零向量）都等價(jià)，即：“兩向量平行”等價(jià)于“坐標(biāo)的內(nèi)積等于外積”。

　�。�2）三點(diǎn)共線：三點(diǎn)共線問題就是向量共線的問題，等價(jià)于兩種向量的形式，哪一種好用就用哪一種。一、等價(jià)于用三個(gè)點(diǎn)任意構(gòu)造兩個(gè)向量，兩個(gè)向量滿足數(shù)乘關(guān)系（或坐標(biāo)滿足內(nèi)積等于外積），建立等式；二、等價(jià)于以第四個(gè)點(diǎn)為公共始點(diǎn)，三個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)構(gòu)造三個(gè)向量，其中一個(gè)向量用另兩個(gè)向量線性表示，系數(shù)之和為1。還要注意三角形中的中線向量定理，還有重心向量的形式，還有中點(diǎn)坐標(biāo)公式和重心坐標(biāo)公式，中線和重心是三角形中重要的量。

　　（3）平面向量基本定理：平面內(nèi)任意的兩個(gè)不共線向量都可以做平面內(nèi)的一組基向量，平面內(nèi)的任意向量都可以由這一組基向量線性表示，且基向量的系數(shù)唯一。利用這個(gè)系數(shù)唯一求向量的系數(shù)是求系數(shù)問題的重要方法。

　　6、平面向量的數(shù)量積

　　（1）兩向量的夾角：兩向量始點(diǎn)重合或者終點(diǎn)重合時(shí)所成的0度到180度之間的角為兩向量的夾角；兩向量首尾相接時(shí)要找補(bǔ)角才是向量的夾角！兩向量的夾角用尖括號(hào)表示。

　�。�2）數(shù)量積的字母形式：兩向量相乘等于兩向量的模的乘積再乘以夾角的余弦，乘法的結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，所以這個(gè)乘法叫做數(shù)量積。乘法的符號(hào)是點(diǎn)。

　�。�3）數(shù)量積的幾何形式：一個(gè)向量的長(zhǎng)度乘以另一個(gè)向量在第一個(gè)向量方向上的射影的數(shù)量。射影是一個(gè)一維向量，它的數(shù)量也叫作它的坐標(biāo)，有兩種計(jì)算形式哦：）

　�。�4）數(shù)量積的運(yùn)算律：滿足交換律和分配律，不滿足結(jié)合律和消去律。（當(dāng)多個(gè)實(shí)數(shù)和兩個(gè)向量做乘法運(yùn)算時(shí)結(jié)合律成立，三個(gè)以上的向量相乘不滿足結(jié)合律，但是碰巧的某個(gè)結(jié)合也成立的可能）

　�。�5）數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：兩向量垂直等價(jià)于數(shù)量積為零；向量的長(zhǎng)度等于向量平方再開方；兩向量的夾角的余弦等于兩向量的數(shù)量積除以模的乘積。兩向量模的乘積大于等于數(shù)量積的模（等號(hào)成立的條件時(shí)至少一個(gè)向量為零向量或者兩個(gè)非零向量共線）可以對(duì)比如下結(jié)論：兩向量和差的模大于等于兩向量模的差，小于等于兩向量模的和，這里等號(hào)成立的條件時(shí)至少一個(gè)向量為零向量或者兩向量同向反向其中之一（大家自己畫圖分析：））

　　7、向量問題的難點(diǎn)：

　�。�1）向量字母形式的化簡(jiǎn)和變形，分解和合成向量是難點(diǎn)。在向量比較多的時(shí)候要考慮找一組不共線向量做基向量表示其它向量，把向量的形式都統(tǒng)一成基向量（基向量最好是找長(zhǎng)度和夾角都知道的兩個(gè)不共線向量，便于計(jì)算。一般是在平面圖形中找兩個(gè)相鄰的邊向量做基向量）。

　�。�2）向量的表示和運(yùn)算都有三種形式：字母形式，幾何形式，坐標(biāo)形式，選擇好正確的形式解題會(huì)化難為易。一般的思路是能畫圖的先畫圖，使用向量的幾何形式分析，看不出來的可以考慮建坐標(biāo)系用坐標(biāo)形式計(jì)算，再不行的用字母形式化簡(jiǎn)計(jì)算。能通過圖形觀察解決的是最方便和準(zhǔn)確，需要計(jì)算的話坐標(biāo)形式最好用，字母形式是比較抽象的。不過有的題給出比較熟悉的字母形式的條件，那就直接化簡(jiǎn)好了，一般來講最后都是能化簡(jiǎn)為兩個(gè)向量的數(shù)乘關(guān)系或者數(shù)量積為零的形式！還要注意三種形式的綜合使用。

　　（3）注意向量和三角、解析幾何、平面幾何的結(jié)合。在向量條件里出現(xiàn)三角函數(shù)的形式時(shí)，往往涉及到三角函數(shù)公式的應(yīng)用；向量坐標(biāo)形式有時(shí)會(huì)用到解析幾何的公式和結(jié)論；平面圖形中的向量問題也可能用到初中平面幾何的定理推論。